Mayo

Lunes 04/05/2015

Ecuaciones de Cauchy Riemann (ECR)

Sea: f : D ⊆ → C 
         Z → f (z)

Si ∃ f'(z0)= lim       f(z0+Δz) - f(z0)

                            Δz→0           Δz

entonces:

Re[f'(z0)]= lim    Re[  f(z0+Δz) - f(z0)   ]

             Δz→0             Δz

Im[f'(z0)]= lim    Im[  f(z0+Δz) - f(z0)   ]

             Δz→0             Δz

  Sea z0=x0+iy0; Δz=Δx+iΔy

f(z0+Δz) - f(z0) = f((x0+iy0)+(Δx+iΔy))-f(x0+iy0))

      Δz                    Δx+iΔy

=(u((x0+Δx);(y0+Δy))-u(x0;y0))+i(v((x0+Δx);(y0+Δy))-v(x0;y0))

                           Δx+iΔy

f(z) =u(x,y)+iv(x,y) → Re [f(z0)] = u(x,y)   Im[f(z0)] = v(x,y) 

S: Δy=0 ; Δx→0

lim (u((x0+Δx);(y0))-u(x0;y0))+i(v((x0+Δx);(y0))-v(x0;y0))

Δx→0                           Δx

lim Re[ (u((x0+Δx);(y0))-u(x0;y0)) ]   = ∂u = ux                   Δx→0              Δx                     ∂x

lim Im[ (v((x0+Δx);(y0))-v(x0;y0)) ]   = ∂v = vx                 Δx→0              Δx                     ∂x

T: Δx=0 ; Δy→0

lim (u((x0);(y0+Δy))-u(x0;y0))+i(v((x0);(y0+Δy))-v(x0;y0))

Δy→0                           iΔy

Re[f'(z0)]= lim (v((x0);(y0+Δy))-v(x0;y0))  = ∂v = vy                        Δy→0         Δy                    ∂y

Im[f'(z0)]= lim (u((x0);(y0+Δy))-u(x0;y0))  = ∂u = -uy                        Δy→0         Δy                    ∂y

Como ∃ lim entonces:

ux = vy      vx = -ux   → ECR

TEOREMA:

Sea f(z)=u(x,y)+iv(x,y) una función compleja definida en algún dominio D que contiene a z0 y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a "x" ∧ "y" y satisface las Ecf en z0, entonces f'(z0) existe.

Función Analítica

f(z), función compleja se dice que es función analítica en Z0 ,ssi f(z) es deriva ble para todo z en algún día abierto D de centro Z0, de forma concreta: D:|Z - Z0|<r

Jueves 07/05/2015

Funciones Armónicas

Sea f(z) una función analítica, que satisface las ECR:

∂u = ∂v   ^  ∂u= -∂u

∂y  ∂x      ∂y   ∂x

entonces ; si se cumple que :

∂²u +   ∂²u = 0    ^      ∂²v  +  ∂²v 

∂x²       ∂y²              ∂x²       ∂y² 

se dice que u(x,y) ∧ v(x,y) son funciones armonicas

∇2u =   ∂²u +   ∂²u = 0      

       ∂x²        ∂y²           Ec. de Laplace     

                               ∇2v =   ∂²v  +  ∂²v = 0      
       ∂x²      ∂y²          

• u(x,y)^v(x,y) se dice que son funciones conjugadas armónicas una de la otra.
• Toda función f(z)=u(x,y)+iv(x,y) que  satisfacen las Ec. de Laplace se llaman FUNCIONES ARMÓNICAS.
• Se puede demostar también:

uxx  + uyy =0 

vxx  + vyy =0 

• En física se conocen como ecuaciones de potencial

Lunes 11/05/2015

Funciones Transcendentales

Exponencial

f(z) = exp(z)
f(z)=ez 

•   Propiedades:

1. eiy = cos(y) + isen(y)     
2. e^-iy  = cos(y) - isen(y) 
3. e^z es una función analítica 
4. e^z +w = e^z . e^w 
5. ^ez ≠0 ; Para todo  Z ϵ C 
6. e^-z =e^1/z 
7. e^z/w =e^z-w  
8.  e^{z = 1  ↔  z=2π ki}
9.  ^{ez  =ew  ↔   z=w+2π ki}

Logaritmica

f(z) = ln(z)

f(z)=ln(r)+i(θ+2πK) 

•   Propiedades:

1. f(z) =ln(r) + iθ  es valor principal
2. e^logz =z
3. log(e^z)=z   
4. log(z.w)=log(z)+log(w) 
5. log(z/w)=log(z)-log(w)   
6. log(z^r)=r.log(z)   
7. sea z=x+iy   ,con y ≠0 ∧  x≤0, entonces log(z) es analítica 
8. zw = ewlogz

Trigonomtricas

f(z) = sen(z)

f(z) = cos(z) 

•   Propiedades:

1. sen(z)=(eiz-e-iz )/ 2i
2. cos(z) =(eiz+e-iz )/ 2i
3. tan(z) = sen(z)/ cos(z)
4. cos(x+iy) = cos(x) cosh(y)- sen(x) senh(y)
5. sen(x+iy) = sen(x) cosh(y)+ cos(x) senh(y)
6. cos(z+2kπ) = cos(z)
7. sen(z) ^cos(z)  son funciones analíticas 

Hiperbolicas

f(z) = senh(z)

f(z) = cosh(z) 

•   Propiedades:

1. senh(z) = (ez-e-z )/2
2. cosh(z) = (ez-e-z )/2               
3. senh(iz)= i sen(z)
4. cosh(iz)= cos(z)
5. senh(z) ^ cosh(z) son funciones analíticas.

Jueves 14/05/2015

Integración en el plano complejo

•  EN EL CASO DE LOS NÚMEROS REALES:

Link de la imagen:

Es una integral definida en un intervalo [ a,b ] ⊂ R y que se realiza considerando las sumas de Riemann.

• En el caso de los complejos:

Link de la imagen

Es una integral de linea a lo largo de la curva r en el plano complejo.

• Las integrales de línea complejas son similares a las integrales de línea de funciones reales de dos variables sobre curvas en el plano.

• En el caso de integrales cerradas se presentan novedades que solo se cumplen para funciones analíticas complejas. Tal es el caso de la INTEGRAL DE CAUCHY y la existencia de las derivadas de orden superior.

Integral indefinida

Si f(z) tiene una anti derivada, podemos evaluar la integral indefinida.

Sea:             F ' (z) = f(z), entonces:

                  ∫ f(z) dz = F(z) + c    ;     c ∈  C

• DEFINICIÓN:

           f: [ a, b ]   →  C ,   tal que:

      f (t) = Re [ f (t) ] + i Im [ f (t) ]

Entonces se define la integral de la forma :

Integrales de linea

; f: D⊆ C →  C

     z    → f (z)

• DEFINICIÓN:

         Sea z: [α , β] → R²  ,una función continua, tal que:

            r={ z(t) /    α ≤  t ≤ β }

  Se dice que r es una curva DIFERENCIABLE  (suave o que no presenta picos) si se cumple:

                                   z' (t)  ≠ 0  ;                   Para todo t ∈  [α , β] 

                        

• DEFINICIÓN:

    Las integrales de linea se definen solamente a lo largo de curvas suaves , o suaves por intervalos:

Curva Suave:

Link de la imagen

Curva suave por intervalos:

link de la imagen:

PROPIEDADES:

1. Si r es una curva suave o suave por intervalos y f(z) es una función continua, entonces existe:

 

  

5.- Si r es una curva suave representada por z=z(t) para α ≤  t ≤ β  y f(z) es continua, entonces:

Lunes 18/05/2015

Prueba numero 2

Jueves 21/05/2015

Conjunto simplemente conexo

Link de la imagen:

Se dice que D es un conjunto simplemente conexo, si solamente tiene puntos de D( es conexo si no presenta huecos).

Propiedad 6: 
Sea r una curva suave a intervalos de z1 a z2 en su dominio simplemente CONEXO D si f(z) es analítica en D y sea F'(z)=f(z) en D entonces:

Integrales Cerradas

Si r es una curva suave cerrada entonces:

r es una curva simple si no presenta entrecruzamientos.

Propiedad 1: TEOREMA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY

Sea f(z) una funcion analitica en D, un dominio simplemente conexo y r una curva cerrada simple entonces:

Propiedad 2: 

Si f es analitica en un domninio simplemente conexo D, entonces la 

es independiente de la trayectoria en D.
Siendo γ1 y γ2 so trayectorias diferentes

Propiedad 3:Teorema de deformación
Sea f una funcion analitica en un dominio D excepto en z0 u sean c1^c2 curvas cerradas simples que encierran z0, entonces:

Jueves 25/05/2015


Propiedad 4:Integral de Cauchy

Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo , Sea r cualquier curva cerrada simple en D, que encierre a Zo, entonces:

Propiedad 5: Integral de Cauchy para derivadas superiores

Sea f analitica en D, simplemente conexo y sea z0 en D entonces f tiene derivadas de todos los ordenes en z0, por tanto se cumple que.

Links que te podrian interesar:
Parametrizacion de superficies
Ejercicios Resueltos de variable compleja
Curso de analisis complejo
Ejercicios de derivacion
Ejercicios de integracion