Mayo

Lunes 04/05/2015

Ecuaciones de Cauchy Riemann (ECR)


Sea: f : D ⊆ → 
         Z → f (z)

Si ∃ f'(z0)= lim       f(z0+Δz) - f(z0)
                            Δz→0           Δz

entonces:


Re[f'(z0)]= lim    Re[  f(z0+Δz) - f(z0)   ]
             Δz→0             Δz

Im[f'(z0)]= lim    Im[  f(z0+Δz) - f(z0)   ]
             Δz→0             Δz

  Sea z0=x0+iy0; Δz=Δx+iΔy

f(z0+Δz) - f(z0) = f((x0+iy0)+(Δx+iΔy))-f(x0+iy0))
      Δz                    Δx+iΔy


=(u((x0+Δx);(y0+Δy))-u(x0;y0))+i(v((x0+Δx);(y0+Δy))-v(x0;y0))
                           Δx+iΔy


f(z) =u(x,y)+iv(x,y) → Re [f(z0)] = u(x,y)   Im[f(z0)] = v(x,y) 


S: Δy=0 ; Δx0

lim (u((x0+Δx);(y0))-u(x0;y0))+i(v((x0+Δx);(y0))-v(x0;y0))
Δx0                           Δx

lim Re[ (u((x0+Δx);(y0))-u(x0;y0)) ]   = ∂u = ux                   Δx0              Δx                     ∂x


lim Im[ (v((x0+Δx);(y0))-v(x0;y0)) ]   = ∂v = vx                 Δx0              Δx                     ∂x


T: Δx=0 ; Δy0

lim (u((x0);(y0+Δy))-u(x0;y0))+i(v((x0);(y0+Δy))-v(x0;y0))
Δy0                           iΔy

Re[f'(z0)]= lim (v((x0);(y0+Δy))-v(x0;y0))  = ∂v = vy                        Δy0         Δy                    ∂y


Im[f'(z0)]= lim (u((x0);(y0+Δy))-u(x0;y0))  = ∂u = -uy                        Δy0         Δy                    ∂y


Como ∃ lim entonces:

uvy      v-ux   → ECR



TEOREMA:

Sea f(z)=u(x,y)+iv(x,y) una función compleja definida en algún dominio D que contiene a z0 y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a "x" ∧ "y" y satisface las Ecf en z0entonces f'(z0) existe.


Función Analítica


f(z), función compleja se dice que es función analítica en Z0 ,ssi f(z) es deriva ble para todo z en algún día abierto D de centro Z0, de forma concreta: D:|Z - Z0|<r


Jueves 07/05/2015

Funciones Armónicas


Sea f(z) una función analítica, que satisface las ECR:
∂u = ∂v   ^  ∂u= -∂u
∂y  ∂x      ∂y   ∂x

entonces ; si se cumple que :


2u +   2u = 0    ^      2v  +  2v 
∂x2       ∂y2              ∂x2       ∂y2 

se dice que u(x,y) ∧ v(x,y) son funciones armonicas
2u =   2u +   2u = 0      
       ∂x2        ∂y2           Ec. de Laplace     
                               2v =   2v  +  2v = 0      
       ∂x     ∂y2          



  • u(x,y)^v(x,y) se dice que son funciones conjugadas armónicas una de la otra.
  • Toda función f(z)=u(x,y)+iv(x,y) que  satisfacen las Ec. de Laplace se llaman FUNCIONES ARMÓNICAS.
  • Se puede demostar también:
uxx  + uyy =0 

vxx  + vyy =0 

  • En física se conocen como ecuaciones de potencial


Lunes 11/05/2015

Funciones Transcendentales



Exponencial

f(z) = exp(z)
f(z)=e

  •   Propiedades:

  1. eiy = cos(y) + isen(y)     
  2. e-iy  = cos(y) - isen(y) 
  3. ees una función analítica 
  4. ez +w = ee
  5. e≠0 ; Para todo  Z ϵ C 
  6. e-z =e1/z 
  7. ez/w =ez-w  
  8.  e= 1  ↔  z=2π ki
  9.  e =ew  ↔   z=w+2π ki

Logaritmica

f(z) = ln(z)

f(z)=ln(r)+i(θ+2πK) 
  •   Propiedades:

  1. f(z) =ln(r) + iθ  es valor principal
  2. elogz =z
  3. log(ez)=z   
  4. log(z.w)=log(z)+log(w) 
  5. log(z/w)=log(z)-log(w)   
  6. log(zr)=r.log(z)   
  7. sea z=x+iy   ,con y ≠0   x≤0, entonces log(z) es analítica 
  8. z= ewlogz


Trigonomtricas

f(z) = sen(z)

f(z) = cos(z) 
  •   Propiedades:

  1. sen(z)=(eiz-e-iz )/ 2i
  2. cos(z) =(eiz+e-iz )/ 2i
  3. tan(z) = sen(z)/ cos(z)
  4. cos(x+iy) = cos(x) cosh(y)- sen(x) senh(y)
  5. sen(x+iy) = sen(x) cosh(y)+ cos(x) senh(y)
  6. cos(z+2kπ) = cos(z)
  7. sen(z) ^cos(z)  son funciones analíticas 

Hiperbolicas

f(z) = senh(z)

f(z) = cosh(z) 
  •   Propiedades:

  1. senh(z) = (ez-e-z )/2
  2. cosh(z) = (ez-e-z )/2               
  3. senh(iz)= i sen(z)
  4. cosh(iz)= cos(z)
  5. senh(z) ^ cosh(z) son funciones analíticas.


Jueves 14/05/2015

Integración en el plano complejo


  •  EN EL CASO DE LOS NÚMEROS REALES:

Link de la imagen:

Es una integral definida en un intervalo [ a,b ] ⊂ R y que se realiza considerando las sumas de Riemann.


  • En el caso de los complejos:

Es una integral de linea a lo largo de la curva r en el plano complejo.

  • Las integrales de línea complejas son similares a las integrales de línea de funciones reales de dos variables sobre curvas en el plano.

  • En el caso de integrales cerradas se presentan novedades que solo se cumplen para funciones analíticas complejas. Tal es el caso de la INTEGRAL DE CAUCHY y la existencia de las derivadas de orden superior.


Integral indefinida


Si f(z) tiene una anti derivada, podemos evaluar la integral indefinida.

Sea:             F ' (z) = f(z), entonces:



                   f(z) dz = F(z) + c    ;     c ∈  C


  • DEFINICIÓN:

           f: [ a, b ]   →  C ,   tal que:
      f (t) = Re [ f (t) ] + i Im [ f (t) ]

Entonces se define la integral de la forma :






Integrales de linea





; f: D C →  C
     z    → f (z)


  • DEFINICIÓN:

         Sea z: [α , β R2  ,una función continua, tal que:
            r={ z(t) /    α ≤  t  β }

  Se dice que r es una curva DIFERENCIABLE  (suave o que no presenta picos) si se cumple:
                                   z' (t)  ≠ 0  ;                   Para todo t ∈  [α , β
                        

  • DEFINICIÓN:
    Las integrales de linea se definen solamente a lo largo de curvas suaves , o suaves por intervalos:

Curva Suave:

Link de la imagen

Curva suave por intervalos:

link de la imagen:

PROPIEDADES:

  1. Si r es una curva suave o suave por intervalos y f(z) es una función continua, entonces existe:






  













5.- Si r es una curva suave representada por z=z(t) para α ≤  t  β  y f(z) es continua, entonces:


Lunes 18/05/2015

Prueba numero 2


Jueves 21/05/2015

Conjunto simplemente conexo


Link de la imagen:

Se dice que D es un conjunto simplemente conexo, si solamente tiene puntos de D( es conexo si no presenta huecos).

Propiedad 6: 
Sea r una curva suave a intervalos de z1 a z2 en su dominio simplemente CONEXO D si f(z) es analítica en D y sea F'(z)=f(z) en D entonces:

Integrales Cerradas


Si r es una curva suave cerrada entonces:
r es una curva simple si no presenta entrecruzamientos.


Propiedad 1: TEOREMA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY

Sea f(z) una funcion analitica en D, un dominio simplemente conexo y r una curva cerrada simple entonces:




Propiedad 2: 

Si f es analitica en un domninio simplemente conexo D, entonces la 



es independiente de la trayectoria en D.
Siendo γ1 y γ2 so trayectorias diferentes



Propiedad 3:Teorema de deformación
Sea f una funcion analitica en un dominio D excepto en z0 u sean c1^c2 curvas cerradas simples que encierran z0, entonces:





Jueves 25/05/2015


Propiedad 4:Integral de Cauchy

Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo , Sea r cualquier curva cerrada simple en D, que encierre a Zo, entonces:


Propiedad 5: Integral de Cauchy para derivadas superiores

Sea f analitica en D, simplemente conexo y sea z0 en D entonces f tiene derivadas de todos los ordenes en z0, por tanto se cumple que.
Links que te podrian interesar:
Parametrizacion de superficies
Ejercicios Resueltos de variable compleja
Curso de analisis complejo
Ejercicios de derivacion
Ejercicios de integracion






No hay comentarios:

Publicar un comentario