Primera Semana
Lunes 06/04/2015
- INDICACIONES GENERALES:
- Presentación.
- Instrucciones Generales sobre el nuevo semestre.
- Método de evaluación y calificación.
- Instrucciones sobre el plan de trabajo y las tareas.
- Instrucciones sobre la creación y desarrollo del blog durante el semestre.
Jueves 09/04/2015
NÚMEROS COMPLEJOS (C)
z = x + y i
- Características:
- Todo numero real es un numero complejo: z = x + 0 i
- No todo numero complejo es un numero real.
- X=Re(z)
- Y=Im(z)
- i=√-1
- X,Y € R
- Y=Im(z)
- i=√-1
- X,Y € R
- Casos
Link de la imagen: Click Aqui
Propiedades :
PARA MAYOR INFORMACIÓN SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS PUEDE VISITAR LAS SIGUIENTES PAGINAS WEB:
Lunes 13/04/2015
+ Y2i, entonces:
Z1/Z2=Z1.(Z2)^-1
(Z2)^-1 =1/Z2
1/Z2=(1)/(X2 + Y2i) . (X2-Y2i)/(X2-Y2i) = X2/(X2)^2 + (Y2)^2 - Y2/(X2)^2 + (Y2)^2 i
Z1/Z2=(X1 + y1 i) (X2)/(X2)^2 + (Y2)^2 -Y2/(X2)^2 + (Y2)^2 i)
|Z-Z0|=r
Representa una circunfercia de radio r y centro Z0
|Z-Z0| = <r.
Representa un circulo de centro (Z0) y radio r, excluidos los puntos de la frontera (circunferencia).
|Z-z0| > r.
La región fuera de la circunferencia de C (Z0) y radio r
Jueves 16/04/2015
Link de la imagen
donde n ∈ N
- Forma rectangular o cartesiana
z = x + yi z = ( x , y )
- Opuesto de un complejo
Si z = x + yi, entonces el opuesto de z es:
-z = -x - iy
Tal que:
z + (-z) = ( x + yi) + ( -x - yi) = 0 + 0i = 0
OPERACIONES CON COMPLEJOS
- Suma
Sea z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i entonces:
z1 + z2 = ( x1 + y1i) + ( x2 + y2i ) = ( x1+ x2 ) + ( y1 + y2)i
Propiedades :
- Clausurativa: Z1 , Z2 € C entonces Z1 + Z2 € C
- Conmutativa: Z1 + Z2 = Z2 + Z1
- Asociativa: (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3)
- Existencia del elemento Inverso Aditivo: Si z = x + i y entonces - z = - x - i y
- Existencia del elemento Neutro Aditivo:
Si z = x + i y e - z = - x - i y entonces z + ( - z) = 0 + i 0
- Multiplicación
Sea z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i entonces:
z1 . z2 = ( x1.x2 - y1.y2) + ( x2y1 + x1y2 )i
Propiedades :
- Clausurativa: Z1 , Z2 € C entonces Z1 * Z2 € C
- Conmutativa: Z1 * Z2 = Z2 * Z1
- Distributiva: Z1 * (Z2 + Z3) = Z1*Z2 + z1*Z3
- Asociativa: (Z1 * Z2) * Z3 = Z1 * (Z2 * Z3)
- Existencia del elemento Neutro Multiplicativo:
entonces:
z * w = (x + yi ) * (a + bi) = x + i y
= (xa - yb) + (xb + ya)i = x + i y
xa - yb = x e xb + ya = y
Resolviendo:
b = 0 ; a = 1
Por tanto: w = 1 + i 0 Neutro Multiplicativo
- Existencia del elemento Inverso Multiplicativo:
Existencia de la conjugada
Sea z = x + yi; entonces la conjugada es x - yi.
Y de esta manera el inverso multiplicativo es:
MODULO DE UN COMPLEJO
Como podemos ver en el grafico r es nuestro modulo de un complejo, y su formula es:
Y de esta manera el inverso multiplicativo es:
(x - yi) / ((x)^2 + (y)^2)=(x - yi) / (x)^2 + (y)^2
MODULO DE UN COMPLEJO
La formula para determinar el modulo de un complejo sale del uso del teorema de pitagoras aplicado en el plano complejo que vimos anteriormente.
Link de la imagen: Click Aqui
- Propiedades:
- Si z es diferente de 0 entonces: | z | > 0.
- Si z = 0 entonces: | z | =0.
- | - z| = | z | = | z conjugado |
- | z1 . z2 | = | z1 | . | z2 |
- | z1/z2 | = | z1 | / | z2 |
- | z1 + z2 | =< | z1 | + | z2 |
PARA MAYOR INFORMACIÓN SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS PUEDE VISITAR LAS SIGUIENTES PAGINAS WEB:
Segunda Semana
Lunes 13/04/2015
Sea Z1=X1 + Y1i ^ Z2= X2
- División de los números complejos
- LUGARES REPRESENTADOS POR LAS ECUACIONES:
|Z-Z0|=r
Representa una circunfercia de radio r y centro Z0
|Z-Z0| = <r.
Representa un circulo de centro (Z0) y radio r, excluidos los puntos de la frontera (circunferencia).
|Z-z0| > r.
La región fuera de la circunferencia de C (Z0) y radio r
Jueves 16/04/2015
- Forma trigonométrica de un complejo

- Multiplicación y división en la forma polar
Sea z1=r1.Cisθ1 ^ z2=r2.Cisθ2
i) z1.z2=(r1.Cisθ1)(r2.Cisθ2)=r1.r2Cis(θ1+θ2)
ii) z1/z2=(r1.Cisθ1)/(r2.Cisθ2)=(r1/r2)Cis(θ1-θ2)
- Potencias y Raíces
Sea z=x + yi, entonces:
z^n=(x + yi)^n=(r^n)Cis(nθ)
z^(1/n)=(x + yi)^(1/n)=(r^(1/n))Cis((θ+2*pi*k)/n)
donde k=0,1,2,......n-1
- Exponenciales Complejas
* En números reales:
e^x=1+x+(x^2)/2!+......+(x^k)/k!
* En números imaginarios:
z=x + yi. entonces:
e^z=e^(x+yi)=e^x.e^yi
e^yi = Cosy + Seny i
Teorema de Euler:
e^z=e^x.(Cosy + Seny i)
z=r.Cisθ=r.e^iθ
- Exponenciales Complejas
Sea z=r.e^iθ, entonces:
Solo en los imaginarios se cumple que: log z = ln z
ln(z)=ln(r.e^iθ)=ln(r)+ln(e^iθ)=ln(r)+iθ.ln(e)
Valor Principal del Logaritmo: ln(z)=ln(r)+iθ
Valor General del Logaritmo: ln(z)=ln(r)+i(θ+2*pi*k)
- Propiedades
z,w E C
e^z.e^w=e(^z+w)
(e^z/e^w)=e^(z-w)
(e^z)^w=e^(z.w)
ln(z.w)=ln(z)+ln(w)
ln(z/w)=ln(z)-ln(w)
ln(z^α)=α.ln(z),α E R
PAGINAS SOBRE EL TEMA:
Tercera Semana
Lunes 20/04/2015
Ejercicios en Clase para la prueba
Jueves 23/04/2015
Prueba N1
Prueba N1
FUNCIONES ANALÍTICAS, COMPLEJAS O FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
f: D ⊆ C ⇒ C
Z⇒ W = f(W)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
Re(f(z))=u(x,y) ; Im(f(z))=v(x,y)
u ^ v funciones de 2 variables
BOLA ABIERTA
Ve(Z0) = { z / zED,| z -z0 | < E }
BOLA CERRADA
Ve(Z0) = {Z / ZED,|z-zo|≤E}
BOLA RADIADA Ve(Z0) = { Z / ZED; 0<|Z-Z0|≤ E }
ANILLO Ve (Z0) ={Z/Z ED , R1< |Z-Z0| < R2}
REGIÓN FUERA Ve (Z0) { Z/Z ED ; lz -z0 | > E}
Para saber sobre la Topo-logia del plano complejo se adjunta un archivo:
Pdf sobre la topologia (pag 43)
Lunes 27/04/2015
Cuarta Semana
Lunes 27/04/2015
Limites de funciones de variable compleja
Sea ƒ: D ⊆ C → C, una función compleja de variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y sólo sí, para todo ξ>0, existe un δ>0, tal que:
0< ||z- Z0||< δ, entonces ||f(z) –L||< ξ
link de la imagen
Jueves 30/04/2015
Propiedades
Suponemos :
lim f(z)=L ^ lim g(z) = K
z→ z0 z → z0
- lim [f(z)+g(z)] = lim f(z)+ lim g(z)z→ z0 z → z0 z→ Z0
- lim [ α f(z)] = α lim f(z)= α L ; αECz→ z0 z → z0
- lim [f(z) . g(z)] = lim f(z) . lim g(z) = LKz→ z0 z → z0 z→ Z0
- lim [f(z) / g(z)] = lim f(z) / lim g(z) = L/K ; K!=0; g(z)!=0z→ z0 z → z0 z→ Z0
Jueves 30/04/2015
Derivadas de funciones de variable compleja
Decimos que f(z) es derivable en z0,ssi:
∃ lim f(z) - f(z0)
z→ z0 z - z0
O también:
f es derivable ssi:
f`(z) = lim f(z + Δz) - f(z)
z→ z0 Δz
- Las derivadas de las funciones de variable compleja tienen la misma definición que las derivadas de funciones de variable real, pero debe considerarse las definiciones y propiedades de la variable compleja.
- Se utilizan las leyes de derivación ya conocidas.
Propiedades
Si ∃ f'(z) ^ g'(z), entonces se cumple :
- (f+g)'(z) = f'(z) + g'(z)
- (∝f)'(z) = ∝.f'(z), ∝∈ C
- (f*g)'(z) = f(z)*g'(z) + f'(z)*g(z)
- (f/g)'(z) = g(z)*f'(z) - f(z)*g'(z) ; g (z)≠0 g2(z)
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