Abril

Primera Semana

Lunes 06/04/2015

• INDICACIONES GENERALES:

1. Presentación.
2. Instrucciones Generales sobre el nuevo semestre.
3. Método de evaluación y calificación.
4. Instrucciones sobre el plan de trabajo y las tareas.
5. Instrucciones sobre la creación y desarrollo del blog durante el semestre.

Jueves 09/04/2015

NÚMEROS COMPLEJOS (C)

z = x + y i

• Características:

           - Todo numero real es un numero complejo:       z = x + 0 i

           - No todo numero complejo es un numero real.

           - X=Re(z)
           - Y=Im(z)
           - i=√-1
           - X,Y  € R

• Casos

1.          Si x=0  ==> z=yi - Imaginario Puro
2.          Si y=0   ==> Z=x  - Numero real
3.          Si x e y es distinto de 0 ==> z= x + yi
4.          Si x=0 e y=0 ==> z= 0 + 0i = 0  - Cero Complejo 

• Plano Complejo 

Link de la imagen: Click Aqui

• Forma rectangular o cartesiana

z = x + yi                                z = ( x , y )

• Opuesto de un complejo

           Si  z = x + yi, entonces el opuesto de z es:

-z = -x - iy

           Tal que:

z + (-z) = ( x + yi) + ( -x - yi) = 0 + 0i = 0

  

OPERACIONES CON COMPLEJOS

• Suma

         Sea z1 = x1 + y1i  y z2 = x2 + y2i entonces:

z1 + z2 = ( x1 + y1i) +  ( x2 + y2i ) = ( x1+ x2 ) + ( y1 + y2)i  

        

        

Propiedades :

•       Clausurativa: Z1 , Z2 € C  entonces  Z1 + Z2 € C
•       Conmutativa: Z1 + Z2 = Z2 + Z1
•        Asociativa: (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3)
•       Existencia del elemento Inverso Aditivo:                                                                    Si z = x + i y  entonces  - z = - x - i y
•       Existencia del elemento Neutro Aditivo: 

Si z = x + i y  e - z = - x - i y   entonces  z + ( - z) = 0 + i 0   

     

• Multiplicación

       Sea z1 = x1 + y1i  y z2 = x2 + y2i entonces:

z1 . z2 = ( x1.x2 - y1.y2) +  ( x2y1 + x1y2 )i

Propiedades :

• Clausurativa: Z1 , Z2 € C  entonces  Z1 * Z2 € C
• Conmutativa: Z1 * Z2 = Z2 * Z1
• Distributiva: Z1 * (Z2 + Z3) = Z1*Z2 + z1*Z3
• Asociativa: (Z1 * Z2) * Z3 = Z1 * (Z2 * Z3)
• Existencia del elemento Neutro Multiplicativo: 

          Sea z = x + i y  e  w = a + i b 

          entonces:

          z * w = (x + yi ) * (a + bi) = x + i y

                   = (xa - yb) + (xb + ya)i = x + i y          

                        xa - yb = x       e       xb + ya = y  

          Resolviendo:     

                     b = 0 ; a = 1

                    Por tanto:   w = 1 + i 0   Neutro Multiplicativo     

   

• Existencia del elemento Inverso Multiplicativo: 

                 

Existencia de la conjugada

                       Sea z = x + yi; entonces la conjugada es x - yi.
          Y de esta manera el inverso multiplicativo es:

(x - yi) / ((x)^2 + (y)^2)=(x - yi) / (x)^2 + (y)^2

MODULO DE UN COMPLEJO

La formula para determinar el modulo de un complejo sale del uso del teorema de pitagoras aplicado en el plano complejo que vimos anteriormente.

Link de la imagen: Click Aqui

Como podemos ver en el grafico r es nuestro modulo de un complejo,  y su formula es:

•  Propiedades:

1. Si z es diferente de 0 entonces: | z | > 0.
2. Si z = 0 entonces: | z | =0.
3. | - z| = | z | = | z conjugado |
4. | z1 . z2 | = | z1 | . | z2 |
5. | z1/z2 | = | z1 | / | z2 |
6. | z1 + z2 | =< | z1 | + | z2 |

PARA MAYOR INFORMACIÓN SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS PUEDE VISITAR LAS SIGUIENTES PAGINAS WEB:

• Definición y representaciones de los números complejos
• Introducción a los umeros complejos y operaciones

Segunda Semana

Lunes 13/04/2015

• División de los números complejos 

Sea Z1=X1 + Y1i ^ Z2= X2 + Y2i, entonces:
   
           Z1/Z2=Z1.(Z2)^-1 
           (Z2)^-1  =1/Z2

       1/Z2=(1)/(X2 + Y2i) . (X2-Y2i)/(X2-Y2i) = X2/(X2)^2 +              (Y2)^2 - Y2/(X2)^2 + (Y2)^2 i

Z1/Z2=(X1 + y1 i) (X2)/(X2)^2 + (Y2)^2 -Y2/(X2)^2 + (Y2)^2 i)

• LUGARES REPRESENTADOS POR LAS ECUACIONES:   

 |Z-Z0|=r  

Representa una circunfercia de radio r y centro Z0

  |Z-Z0| = <r.
Representa un circulo de centro (Z0) y radio r, excluidos los puntos de la frontera (circunferencia).

                   |Z-z0| > r.
La región fuera de la circunferencia de C (Z0) y radio r




Jueves 16/04/2015

• Forma trigonométrica de un complejo

Link de la imagen

θ= arctg(y/x)              r^2=x^2+y^2=|z|^2

z= r(Cosθ + Senθ i)=r.Cisθ

• Multiplicación y división en la forma polar

Sea z1=r1.Cisθ1 ^ z2=r2.Cisθ2

i) z1.z2=(r1.Cisθ1)(r2.Cisθ2)=r1.r2Cis(θ1+θ2)

ii) z1/z2=(r1.Cisθ1)/(r2.Cisθ2)=(r1/r2)Cis(θ1-θ2)

• Potencias y Raíces

Sea z=x + yi, entonces:

z^n=(x + yi)^n=(r^n)Cis(nθ)

donde n ∈ N

z^(1/n)=(x + yi)^(1/n)=(r^(1/n))Cis((θ+2*pi*k)/n)

donde k=0,1,2,......n-1

• Exponenciales Complejas

* En números reales:

              

e^x=1+x+(x^2)/2!+......+(x^k)/k!

* En números imaginarios:

z=x + yi. entonces:

e^z=e^(x+yi)=e^x.e^yi

e^yi = Cosy + Seny i

Teorema de Euler:

e^z=e^x.(Cosy + Seny i)

z=r.Cisθ=r.e^iθ

• Exponenciales Complejas

Sea z=r.e^iθ, entonces:

Solo en los imaginarios se cumple que: log z = ln z

ln(z)=ln(r.e^iθ)=ln(r)+ln(e^iθ)=ln(r)+iθ.ln(e)

Valor Principal del Logaritmo: ln(z)=ln(r)+iθ

Valor General del Logaritmo: ln(z)=ln(r)+i(θ+2*pi*k)

• Propiedades

z,w E C

e^z.e^w=e(^z+w)

(e^z/e^w)=e^(z-w)

(e^z)^w=e^(z.w)

ln(z.w)=ln(z)+ln(w)

ln(z/w)=ln(z)-ln(w)

ln(z^α)=α.ln(z),α E R

PAGINAS SOBRE EL TEMA:

Numeros complejos en forma polar y trigonometrica

Video sobre un logaritmo imaginario

Tercera Semana

Lunes 20/04/2015

 Ejercicios en Clase para la prueba

Jueves 23/04/2015

 Prueba N1

FUNCIONES ANALÍTICAS, COMPLEJAS O FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

f: D ⊆ C ⇒ C

     Z⇒ W = f(W)

Link de la imagen

Si z = x + yi⇒ w=f(z)=f(x+yi)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Re(f(z))=u(x,y) ; Im(f(z))=v(x,y)

u ^ v funciones de 2 variables

BOLA ABIERTA

Ve(Z0) = { z / zED,| z -z0 | < E } 

LINK DE LA IAMGEN

BOLA CERRADA

Ve(Z0) = {Z / ZED,|z-zo|≤E} 

LINK DE LA IMAGEN

BOLA RADIADA     Ve(Z0) = { Z / ZED;  0<|Z-Z0|≤ E }

ANILLO           Ve (Z0) ={Z/Z ED , R1< |Z-Z0| < R2}

REGIÓN FUERA     Ve (Z0) { Z/Z ED ; lz -z0 | > E} 

Para saber sobre la Topo-logia del plano complejo se adjunta un archivo:

Pdf sobre la topologia (pag 43)

Cuarta Semana

Lunes 27/04/2015

Limites de funciones de variable compleja

Sea  ƒ: D ⊆ C → C, una función compleja de variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y sólo sí, para todo ξ>0, existe un  δ>0, tal que:

0< ||z- Z0||< δ, entonces ||f(z) –L||< ξ

 pagina de la cual fue extraido el texto

link de la imagen

Propiedades

Suponemos :

lim f(z)=L  ^  lim  g(z) = K

 z→ z0           z → z0 

• lim [f(z)+g(z)] = lim f(z)+ lim  g(z)
   z→ z0           z → z0    z→ Z0   
• lim [ α f(z)] = α lim f(z)= α L ; αECz→ z0              z → z0     
• lim [f(z) . g(z)] = lim f(z) . lim  g(z) = LK

   z→ z0             z → z0     z→ Z0 
• lim [f(z) / g(z)] = lim f(z) / lim  g(z) = L/K ; K!=0; g(z)!=0
   z→ z0             z → z0     z→ Z0 

Jueves 30/04/2015

Derivadas de funciones de variable compleja

Decimos que f(z) es derivable en z0,ssi:

∃ lim       f(z) - f(z0)

                          z→ z0      z - z0

O también:

  f es derivable ssi:

f`(z) = lim       f(z + Δz) - f(z)

   z→ z0           Δz

• Las derivadas de las funciones de variable compleja tienen la misma definición que las derivadas de funciones de variable real, pero debe considerarse las definiciones y propiedades de la variable compleja.
• Se utilizan las leyes de derivación ya conocidas.

Propiedades

Si ∃ f'(z) ^ g'(z), entonces se cumple :

1. (f+g)'(z) = f'(z) +  g'(z)
2. (∝f)'(z) =  ∝.f'(z),  ∝∈ C
3. (f*g)'(z) = f(z)*g'(z) + f'(z)*g(z)
4. (f/g)'(z) = g(z)*f'(z) - f(z)*g'(z) ;     g (z)≠0                                g²(z)