Abril

Primera Semana

Lunes 06/04/2015

  • INDICACIONES GENERALES:

  1. Presentación.
  2. Instrucciones Generales sobre el nuevo semestre.
  3. Método de evaluación y calificación.
  4. Instrucciones sobre el plan de trabajo y las tareas.
  5. Instrucciones sobre la creación y desarrollo del blog durante el semestre.

Jueves 09/04/2015

NÚMEROS COMPLEJOS (C)

z = x + y i

  • Características:

           - Todo numero real es un numero complejo:       z = x + 0 i
           - No todo numero complejo es un numero real.
           - X=Re(z)
           - Y=Im(z)
           - i=√-1
           - X,Y  € R


  • Casos
  1.          Si x=0  ==> z=yi - Imaginario Puro
  2.          Si y=0   ==> Z=x  - Numero real
  3.          Si x e y es distinto de 0 ==> z= x + yi
  4.          Si x=0 e y=0 ==> z= 0 + 0i = 0  - Cero Complejo 


  • Plano Complejo 

Link de la imagen: Click Aqui
  • Forma rectangular o cartesiana

z = x + yi                                z = ( x , y )
  • Opuesto de un complejo
           Si  z = x + yi, entonces el opuesto de z es:
-z = -x - iy
           Tal que:
z + (-z) = ( x + yi) + ( -x - yi) = 0 + 0i = 0
  

OPERACIONES CON COMPLEJOS

  • Suma
         Sea z1 = x1 + y1i  y z2 = x2 + y2i entonces:
z1 + z2 = ( x1 + y1i) +  ( x2 + y2i ) = ( x1+ x2 ) + ( y1 + y2)i  
        
        
Propiedades :
  •       Clausurativa: Z1 , Z2 € C  entonces  Z1 + Z2 € C
  •       Conmutativa: Z1 + Z2 = Z2 + Z1
  •        Asociativa: (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3)
  •       Existencia del elemento Inverso Aditivo:                                                                    Si z = x + y  entonces  - z = - x - y
  •       Existencia del elemento Neutro Aditivo: 
Si z = x + i y  e - z = - x - i y   entonces  z + ( - z) = 0 + i 0   
     

  • Multiplicación
       Sea z1 = x1 + y1i  y z2 = x2 + y2i entonces:
z1 . z2 = ( x1.x2 - y1.y2) +  ( x2y1 + x1y2 )i


Propiedades :
  • Clausurativa: Z1 , Z2 € C  entonces  Z1 * Z2 € C
  • Conmutativa: Z1 * Z2 = Z2 * Z1
  • Distributiva: Z1 * (Z2 + Z3) = Z1*Z2 + z1*Z3
  • Asociativa: (Z1 * Z2) * Z3 = Z1 * (Z2 * Z3)
  • Existencia del elemento Neutro Multiplicativo: 
          Sea z = x + i y  e  w = a + i b 
          entonces:
          z * w = (x + yi ) * (a + bi) = x + y
                   = (xa - yb) + (xb + ya)i = x + i y          
                        xa - yb = x       e       xb + ya = y  
          Resolviendo:     
                     b = 0 ; a = 1
                    Por tanto:   w = 1 + i 0   Neutro Multiplicativo     
   

  • Existencia del elemento Inverso Multiplicativo: 
                 
Existencia de la conjugada
                       Sea z = x + yi; entonces la conjugada es x - yi.
          Y de esta manera el inverso multiplicativo es:
(x - yi) / ((x)^2 + (y)^2)=(x - yi) / (x)^2 + (y)^2


MODULO DE UN COMPLEJO

La formula para determinar el modulo de un complejo sale del uso del teorema de pitagoras aplicado en el plano complejo que vimos anteriormente.
Link de la imagen: Click Aqui

Como podemos ver en el grafico r es nuestro modulo de un complejo,  y su formula es:


  •  Propiedades:
  1. Si z es diferente de 0 entonces: | z | > 0.
  2. Si z = 0 entonces: | z | =0.
  3. | - z| = | z | = | z conjugado |
  4. | z1 . z2 | = | z1 | . | z2 |
  5. | z1/z2 | = | z1 | / | z2 |
  6. | z1 + z2 | =| z1 | + | z2 |

PARA MAYOR INFORMACIÓN SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS PUEDE VISITAR LAS SIGUIENTES PAGINAS WEB:


Segunda Semana


Lunes 13/04/2015
  • División de los números complejos 
Sea Z1=X1 + Y1i ^ Z2= X2 + Y2i, entonces:
   

           Z1/Z2=Z1.(Z2)^-1 
           (Z2)^-1  =1/Z2

       1/Z2=(1)/(X2 + Y2i) . (X2-Y2i)/(X2-Y2i) = X2/(X2)^2 +              (Y2)^2 - Y2/(X2)^2 + (Y2)^2 i

Z1/Z2=(X1 + y1 i) (X2)/(X2)^2 + (Y2)^2 -Y2/(X2)^2 + (Y2)^2 i)




  • LUGARES REPRESENTADOS POR LAS ECUACIONES:   

 
|Z-Z0|=r
 


Representa una circunfercia de radio r y centro Z0


  |Z-Z0| = <r.
Representa un circulo de centro (Z0) y radio r, excluidos los puntos de la frontera (circunferencia).

                   |Z-z0> r.

La región fuera de la circunferencia de C (Z0) y radio r




Jueves 16/04/2015
  • Forma trigonométrica de un complejo

Link de la imagen
θ= arctg(y/x)              r^2=x^2+y^2=|z|^2

z= r(Cosθ + Senθ i)=r.Cisθ

  • Multiplicación y división en la forma polar
Sea z1=r1.Cisθ1 ^ z2=r2.Cisθ2

i) z1.z2=(r1.Cisθ1)(r2.Cisθ2)=r1.r2Cis(θ1+θ2)

ii) z1/z2=(r1.Cisθ1)/(r2.Cisθ2)=(r1/r2)Cis(θ1-θ2)

  • Potencias y Raíces
Sea z=x + yi, entonces:

z^n=(x + yi)^n=(r^n)Cis(nθ)

donde n ∈ N

z^(1/n)=(x + yi)^(1/n)=(r^(1/n))Cis((θ+2*pi*k)/n)

donde k=0,1,2,......n-1

  • Exponenciales Complejas
* En números reales:
              
e^x=1+x+(x^2)/2!+......+(x^k)/k!

* En números imaginarios:

z=x + yi. entonces:
e^z=e^(x+yi)=e^x.e^yi
e^yi = Cosy + Seny i

Teorema de Euler:

e^z=e^x.(Cosy + Seny i)

z=r.Cisθ=r.e^iθ

  • Exponenciales Complejas
Sea z=r.e^iθ, entonces:
Solo en los imaginarios se cumple que: log z = ln z

ln(z)=ln(r.e^iθ)=ln(r)+ln(e^iθ)=ln(r)+iθ.ln(e)

Valor Principal del Logaritmo: ln(z)=ln(r)+iθ

Valor General del Logaritmo: ln(z)=ln(r)+i(θ+2*pi*k)

  • Propiedades
z,w E C

e^z.e^w=e(^z+w)

(e^z/e^w)=e^(z-w)

(e^z)^w=e^(z.w)

ln(z.w)=ln(z)+ln(w)

ln(z/w)=ln(z)-ln(w)

Tercera Semana


Lunes 20/04/2015


 Ejercicios en Clase para la prueba

Jueves 23/04/2015

 Prueba N1

FUNCIONES ANALÍTICAS, COMPLEJAS O FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

f: D ⊆ C ⇒ C


     Z⇒ W = f(W)




Si z = x + yi⇒ w=f(z)=f(x+yi)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Re(f(z))=u(x,y) ; Im(f(z))=v(x,y)

u ^ v funciones de 2 variables



BOLA ABIERTA
Ve(Z0) = { z / zED,| z -z0 | < E } 




BOLA CERRADA
Ve(Z0) = {Z / ZED,|z-zo|≤E} 




BOLA RADIADA     Ve(Z0) = { Z / ZED;  0<|Z-Z0|≤ E }
ANILLO           Ve (Z0) ={Z/Z ED , R1< |Z-Z0| < R2}
REGIÓN FUERA     Ve (Z0) { Z/Z ED ; lz -z0 | > E} 


Para saber sobre la Topo-logia del plano complejo se adjunta un archivo:

Pdf sobre la topologia (pag 43)

Cuarta Semana


Lunes 27/04/2015


Limites de funciones de variable compleja




Sea  ƒ: D ⊆ C → C, una función compleja de variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y sólo sí, para todo ξ>0, existe un  δ>0, tal que:


0< ||z- Z0||< δ, entonces ||f(z) –L||< ξ





link de la imagen

Propiedades

Suponemos :
lim f(z)=L  ^  lim  g(z) = K
 z→ z0           z → z0 
  • lim [f(z)+g(z)] = lim f(z)+ lim  g(z)
     z→ z0           z → z0    z→ Z0   
  • lim [ α f(z)] = α lim f(z)α L ; αECz→ z0              z → z0     
  • lim [f(z) . g(z)] = lim f(z) . lim  g(z) = LK
     z→ z0             z → z0     z→ Z0 
  • lim [f(z) / g(z)] = lim f(z) / lim  g(z) = L/K ; K!=0; g(z)!=0
     z→ z0             z → z0     z→ Z0 


Jueves 30/04/2015

Derivadas de funciones de variable compleja


Decimos que f(z) es derivable en z0,ssi:

 lim       f(z) - f(z0)
                          z→ z0      z - z0

O también:

  f es derivable ssi:

f`(z) = lim       f(z + Δz) - f(z)
   z→ z0           Δz



  • Las derivadas de las funciones de variable compleja tienen la misma definición que las derivadas de funciones de variable real, pero debe considerarse las definiciones y propiedades de la variable compleja.
  • Se utilizan las leyes de derivación ya conocidas.

Propiedades

Si ∃ f'(z) ^ g'(z), entonces se cumple :
  1. (f+g)'(z) = f'(z) +  g'(z)
  2. (∝f)'(z) =  ∝.f'(z),  ∝∈ C
  3. (f*g)'(z) = f(z)*g'(z) + f'(z)*g(z)
  4. (f/g)'(z) = g(z)*f'(z) - f(z)*g'(z) ;     g (z)≠0                                g2(z)
                                   












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